面向微流控（microfluidics）学习的整编版：保留全部 12 章及附录的知识内容，公式以数学上下标形式书写，每章末设"微流控关联"专栏。
本书按"物性 → 运动学 → 静力学 → 宏观守恒 → 微分方程 → 理想流 → 相似论 → 湍流 → 边界层 → 可压缩 → 停留时间"的逻辑展开，知识链条可归纳为三条主线：
说明：原 PDF 为纯图像扫描件（无文字层），本总结在全书 322 页逐页 OCR 的基础上复核、重构与整编，章、节编号与书中一致，公式按数学直觉以 HTML 上下标形式重新排版（不使用代码块）。
流体力学研究流体受力及其运动规律。流体区别于固体的显著特点是：流动性、可压缩性、黏滞性和液体表面张力特性。本章是入门知识，也是分析流动现象的基本切入点，并由此引出"可压缩/不可压缩流体""黏性流体/理想流体""无滑移条件"等贯穿全书的常用概念。
流体由分子构成，在分子尺度上质量分布与运动都不连续。流体力学感兴趣的是大量分子的统计平均特性，因此需要定义基本流体单元 流体质点，它须同时满足两点要求：① 包含足够多的分子，使统计平均特性参数为确定值（非随机值）；② 尺度足够小，使统计平均特性可视为空间点的特性参数。
考察平均密度 ρm = Δm/ΔV 随 ΔV 的变化：当 ΔV < ΔV0 时分子数太少，ρm 是随机值；ΔV ≥ ΔV0 后 ρm 成为确定值。故定义
ΔV0 满足"点"的要求只是相对工程尺度而言：一般工程问题把运动尺度细分到 0.01 mm 量级已足够精确；标准大气条件下即使在 10−9 mm3 量级单元中，空气分子数仍达 2.69×1010 个，足以使其统计平均特性与单个分子随机进出无关。
假设流体由连续分布的质点构成、质点间无间隙，任何物理量可表示为空间坐标和时间的单值、连续可微函数：
该假说除稀薄气体、激波等少数情况外普遍适用，其意义在于把连续数学方法（微积分）引入流体力学。
流体没有固定形状，形状取决于限制它的边界；受到很小的切应力就发生连续不断的变形，直到切应力消失为止。存在切应力是流体发生流动的充分必要条件；受切应力作用而连续变形的流体称运动流体，无切应力作用者称静止流体。
流体受剪切作用连续变形时内部产生抵抗变形、以内摩擦力形式表现的属性即黏滞性。内摩擦力有两种机理：分子内聚力机理（液体主导）与分子动量交换机理（气体主导）。
| 类型 | τ–du/dy 特征 | 判据 / 典型流体 |
|---|---|---|
| 牛顿流体 | 过原点、直线，斜率 μ 为物性 | n = 1；空气、水、低分子量液体及其溶液 |
| 假塑性流体 | 斜率随变形速率增大而减小（剪切变稀） | n < 1；聚合物溶液、聚乙烯/聚丙烯熔体、涂料、泥浆悬浮液 |
| 胀塑性流体 | 斜率随变形速率增大而增大（剪切增稠） | n > 1；淀粉、硅酸钾、阿拉伯树胶悬浮液 |
| 塑性 / 宾汉流体 | 存在屈服应力 τ0，之后呈牛顿行为 | 钻井泥浆、污水泥浆、某些颗粒悬浮液 |
| 依时性流体 | τ 随时间变化（流凝性↑ / 触变性↓） | 石膏水溶液（流凝性）、油漆（触变性） |
其他黏度函数模型：Ellis 模型、Carreau 模型等。非牛顿流体主要是流变学研究对象，本书后续各章（除特别说明外）均针对牛顿流体。
流体无确切形状，运动中除平动与转动外还有连续不断的膨胀变形与剪切变形，故运动学须重点考虑变形；同时流体流动有层流与湍流两种形态，阻力行为随之不同。本章从运动学与动力学两方面为后续各章搭建基础平台。
流体所占据的空间称流场，可据主要物理量称为"速度场""压力场"等。运动参数表示为空间坐标和时间的函数（欧拉描述）：
流动分类（按着眼点不同）：① 时间特性——稳态/非稳态流动（稳态与否有时与所选参考系有关，如相对飞行器坐标系中的绕流为稳态）；② 空间特性——一维/二维/三维流动；③ 内部结构——层流/湍流；④ 流体性质——黏性/理想流体、可压缩/不可压缩流体；⑤ 质点是否自转——有旋/无旋流动；⑥ 力学成因——压差流动、重力流动、剪切（摩擦）流动；⑦ 边界特征——内部流动/外部流动（绕流、明渠）；⑧ 速度大小——亚声速/超声速流动；⑨ 沿程发展——发展中/充分发展流动。
注意：流动维数不等于速度分量数。矩形管中 v = v(x, z) 只有一个分量但属二维流动；圆管中 v = v(r) 属一维流动；曲率半径为 R 的环形管虽有三个速度分量，但各截面速度分布相同，仍属二维流动。
数学上可互换：① 由拉格朗日式→欧拉式，先由迹线方程反解 a = a(x, y, z, t) 等再代入；② 由欧拉式→拉格朗日式，先建立迹线微分方程 dx/dt = vx(x, y, z, t) 等，求解并以积分常数表示，再由 t = t0 时的位置确定常数得迹线方程。
关键理解：欧拉场中物理量对时间的偏导数 ∂φ/∂t 只是空间点处的时间变化率，不含质点物理量本身的迁移效应，故不能用于稳态判据之外的质点变化率计算。
流管表面无流体穿过（不能中断），截面不能收缩到零，否则流速将达无穷大。工程管道是流管的特例。刚性管道中只要流体不可压缩且充满管道，上述连续性方程对非稳态流动也成立。
流体的变形连续不断，不能用确切的应变度量，而必须用变形速率（单位时间的应变）度量。
流体微元的运动可分解为四种基本形式：平移、转动、剪切变形、体积膨胀。有旋/无旋只取决于微团自身是否自转，与其轨迹曲线的形状无关——直线轨迹的质点也可能自转（有旋），曲线轨迹也可能无旋。
1883 年雷诺实验发现：流速低时流体层间犹如平行滑动、横向仅有分子热运动，示踪剂形成清晰直线，此为层流；流速高时内部充满不同尺度旋涡、微团随机脉动，示踪剂很快弥散，此为湍流。层流到湍流的转变是剪切摩擦导致层状结构失稳、黏性流体速度量变引起动力学行为质变的过程。
固壁处因黏性作用使流体速度为零，形成近壁减速区（边界层）；近壁减速迫使中心区加速。由此形成工程中最典型的三类流动：管内流动（内部流动，最终发展为充分发展流动）、绕流流动（外部流动，边界层沿流动方向持续发展）、以及明渠等自由表面流动。
流动阻力由摩擦阻力与形状（压差）阻力两部分构成，其大小与流态、固壁边界条件（粗糙度、几何形状）密切相关。
广义地说，内部无相对运动（无剪切力）的流体称静止流体，所占据的空间称静止流场。本章讨论四部分：① 作用在流体上的力（质量力与表面力）与静压力概念；② 流体静力学基本方程；③ 重力场液体静力学问题；④ 非惯性坐标系液体静力学。
特定场合流体还可受电场力、磁场力等，虽与质量无直接关系，静力学分析中仍可归入质量力；一般静力学分析不考虑表面张力。
真实流体不承受拉应力，总正应力 (−p + Δσn) ≥ 0。附加正应力 Δσn 与切应力 τn 均为黏性运动流体所特有；理想流体或静止流体二者均为零。
由三角形微元四面体力平衡（令 Δx→0、Δy→0）可证：静止流场中任意点处的压力值与流体表面取向无关。
压力表通常在大气状态下归零，所测为表压力；压力容器与管道设计中"设计压力"通常指表压力。大气压对物体封闭表面的作用为自平衡力系，故工程上关心的是扣除 pa 后的表压力作用。
物理意义：ρf 为单位体积的质量力，−∇p 为单位体积的压差力，二者之和为零。∇p 是矢量，指向 p 增大最快的方向且垂直于等压面。
静止流场的基本特性：
海平面以上大气对流层（高度 < 11 km）近似取 n = 1.238；算例：10 km 高空 p = 0.261p0、ρ = 0.337ρ0、T = 0.772T0 = 222.5 K。
ρgh 即横截面为单位面积、高度为 h 的液柱重力。等压面为水平面。
求解基本方法：① 确定压力分布（p = p0 + ρgh，压力分布图）；② 对受压面求积分或利用合力矩定理定位压力中心。
在非惯性坐标系中，需在质量力中计入惯性力（达朗贝尔原理），其余保持静力平衡方程形式。
应用：离心铸造、离心分离、超重力旋转床（RPB）内液体的压力分布分析。
本章以过程设备流体系统为背景，用控制体方法建立质量、动量、动量矩与能量守恒方程，并给出典型应用（小孔流动、虹吸与汽蚀、皮托管测速、管道局部阻力）。宏观守恒方程是过程设备物料平衡、受力分析与能量衡算的基本工具。
| 系统（拉格朗日观点） | 控制体（欧拉观点） | |
|---|---|---|
| 特征 | 质量不变，边界形状不断改变 | 形状与位置一般不变，内部质量可变 |
| 表面交换 | 与外界有力和能量交换，无质量交换 | 可有质量、力、能量交换 |
| 使用难点 | 需实时跟踪系统并识别其边界 | 守恒定律须改写成适用于控制体的形式（输运公式） |
输运公式是"由拉格朗日观点的系统过渡到欧拉观点的控制体的桥梁"。守恒定律应用于宏观控制体得积分方程（本章），应用于微分控制体得微分方程（第 5、6 章）。
无化学反应的多组分系统，质量守恒对每一组分都成立（有几个组分就有几个独立方程）；混合物料总体的质量守恒式 (4-12) 始终适用，故以质量为物质量单位时 ΣRi = 0。混合槽浓度随时间演化、多级塔板净化等问题均由本节方程结合初始条件求解。
l 为速度作用线到参照点的垂直距离（转动臂），逆转取正。离心泵叶轮是典型应用：
叶轮进/出口速度三角形：相对速度 w（沿安装角 β）、牵连速度 ωR、绝对速度 v（径向分量 vr = qm/(ρA)、切向分量 vt）；进口径向进流时进口动量矩为零，进口安装角由 v1t = 0 条件确定。喷管（洒水器）自转动量矩分析可给出自由转动角速度 ωf = vR/r2。
Wμ = 0 的三种情形：理想流体（μ = 0）；固定固体壁面（v = 0）；等直径管道截面（无轴向线应变且截面法向速度为零）。动能修正系数 α：理想流体 α = 1；圆管层流 α = 2；圆管湍流（v = vmax(1−r/R)1/n，n = 6~10）α = 1.077~1.031。故除层流外，圆管截面平均动能可直接用 vm2/2 表示。
应用说明：以热交换为特征的系统，流体机械能通常可忽略；若压力变化显著（充/放气），通常仅可忽略动能与位能。算例表明，一般加热/冷却过程中每 kg 流体的动能（≈4.5 J/kg）、位能（≈30 J/kg）、压力能（≈101 J/kg）之和仅为温升 1 ℃ 内能变化（≈4180 J/kg）的 3.2%，故可忽略机械能。
简化条件：① 无热量传递 Q = 0；② 无轴功 Ws = 0；③ 不可压缩 ρ = const；④ 稳态 dEcv/dt = 0；⑤ 理想流体 μ = 0（Wμ = 0，且内能 u = const）。
适用要点：i) 进出口截面须处于均匀流段且垂直于流动方向（等直径管横截面满足）；ii) 亦准确适用于理想不可压缩流场中的任一条流线（沿同一条流线 em = const）；iii) 可近似用于可压缩流体，要求 Ma = vm/a < 0.3 且 Δp < 0.2p0。
机械能守恒方程（A）与稳态系统一般能量方程（B）的对比：A 只适用于无外加热情况，B 用于有外加热（设备）情况；无外加热时同时应用两方程得 g hf = (Δu − Q/qm)，说明机械能损失 g hf 替代了热能项，且该热量如何在内能增加与散热之间分配并不重要、也难以确定——故无外加热时一般不必用方程 B。有外加热时，机械能损失产生的热量通常远小于外加热热量而忽略。
宏观控制体守恒方程只能给出进/出口参数与内部总体参数的关系，不能给出流场内部分布信息。本章把守恒定律应用于微分控制体，建立流动微分方程并求解，获得狭缝流动、圆管流动、降膜流动三类典型一维层流的解析解——这正是微流控中绝大多数流动的理论基础。
三个特点：① 微元体只在流动方向前后表面有流体进出且进出速度相等；② 动量守恒方程简化为力平衡方程；③ 微元体表面力可按"模板图"标注（法向力只有静压力 p；沿流动方向两侧面切应力大小相等方向相反；垂直于流动平面的两面无切应力）。
微元体表面法向力的构成：σn = −p + Δσn，而对 u = u(y) 的不可压缩一维稳态流动 εx = ∂u/∂x = 0 且 ∇·v = 0，故 Δσx = Δσy = 0——表面法向力只有静压力。
板间距远小于板长和板宽，进/出口与侧壁效应只影响局部，板间流动可视为充分发展的一维流动。按成因分为压差流、剪切（摩擦）流、重力流，一般情况三者并存。
应用条件：① 介质条件——式 (5-15) 对牛顿与非牛顿流体都适用；式 (5-16) 只适用于牛顿流体；式 (5-17) 只适用于常黏度牛顿流体。② 流动方位——由 Δp* 中流动方向与 g 的方位角 β 体现（β = 90° 水平流动；β = 0°/180° 垂直向下/向上）。③ 沿流动方向压力不变的流动（摩擦流动、倾斜平壁降膜）也适用，此时 p1 = p2、Δp* = ρgLcos β。
式 (5-37) 表明体积流量与压降、半径四次方成正比、与黏度成反比，可用作测定流体黏度的原理式（毛细管黏度计）。
算例（例 5-5）：在内半径 R 的圆管中心放置 0.1R 的钢丝后，平均流速仅增 1%，但最大流速位置移至 rm = 0.464R，最大流速降至 1.567um（圆管为 2um），摩擦压降增加 74.1%。
降膜流动靠重力产生，流速较低、沿流动方向无压力差、液膜一侧与大气接触（气-液边界）；广泛用于湿壁塔、冷凝器、蒸发器与产品涂层。
重要说明：um 与 δ 的关系式 (5-56) 虽由稳态层流等厚度液膜导出，但在变厚度降膜、甚至非稳态液膜问题中也广泛适用——这类问题的共同特征是重力流动且流速缓慢、气-液界面切应力微弱，以至于每一截面上的速度分布都满足或近似满足抛物线分布。
连续性方程（微元体质量守恒）与运动微分方程（N-S 方程，微元体动量守恒）构成流体流动微分方程体系。N-S 方程的建立历经欧拉（理想流体）、纳维、柯西（应力形式）、泊松、圣维南到斯托克斯（牛顿流体本构）的努力，1934 年由普朗特正式命名；其普遍解至今仍是难题，"N-S 方程的存在性与光滑性"于 2000 年被列为美国克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。
物理意义：∇ · v 是单位时间流体的体积变化率；不可压缩流体面积可变而体积不变，故 ∇ · v = 0，无论稳态或非稳态均如此。该方程导出时未对流体与流动作任何假设，故对层流/湍流、牛顿/非牛顿流体都适用。
应力符号规定：应力所在平面的外法线方向与坐标轴正向一致时，指向坐标轴正向的应力为正；外法线与坐标轴正向相反时，指向坐标轴负方向的应力为正（与"拉应力为正、压应力为负"一致）。示例：作用于与 x 轴垂直的微元面 dydz 上的是 σxx、τxy、τxz；下标第一字母表示作用面方位，第二字母表示应力方向。
物理意义：ρa = F，即以单位体积流体为基准的牛顿第二定律。但方程含 9 个未知量（3 个速度分量 + 6 个独立应力分量）而方程加连续性方程只有 4 个，方程组不封闭，须补充本构方程。
本构方程沟通流体运动学与动力学，是流体力学的重要方程。
与前后各章的呼应：第 3 章 σn = (−p + Δσn)n 即基于式 (6-23)；第 4 章"等直径管段截面附加正应力为零"因 ∂vz/∂z = 0 使 Δσz = 0；第 5 章一维层流微元受力中表面正应力只有静压力，因 σxx = σyy = σzz = −p。
不可压缩流体沿 x 方向减速（∂vx/∂x < 0）时 Δσx < 0 为压应力受挤压；加速时 Δσx > 0 为拉应力受拉伸；若拉伸至 σxx = −p + Δσx = 0，流体将发生断裂、失去连续性。
N-S 方程对流体密度、黏度、可压缩性未作限制，但引入了牛顿流体本构方程，故只适用于牛顿流体；非牛顿流体应采用应力形式的运动方程。虽然 N-S 方程以层流为背景，但一般认为非稳态 N-S 方程对湍流的瞬时运动仍然适用——雷诺据此将瞬时速度分解为时均值与脉动值，得到适用于湍流的雷诺平均运动方程（RANS），它是当今湍流数值模拟的主干方程（详见第 9 章 9.2 节）。
重要提示：柱坐标 r 方向的离心力项与 θ 方向的哥氏力项是在坐标变换中自动生成的，在分析流体体积力时不必人为加上。
不可压缩理想流体的平面流动即限于二维平面的不可压缩、无黏流体流动。若流动无旋（速度有势），则称不可压缩平面势流，其特点是同时存在流函数与势函数，可用严格数学方法获得解析解，是流体力学与数学结合的经典范例。
速度分解的三大意义：变形运动 → 应力与变形速率关系（牛顿流体本构方程）；膨胀运动 → 可压缩（∇·v ≠ 0）与不可压缩（∇·v = 0）流动；旋转运动 → 有旋（ω ≠ 0）与无旋（ω = 0）流动。
有旋流场（涡量场）的基本特性：
例 7-1 强制涡与自由涡：
| 自由涡（vθ = K/r） | 强制涡（vθ = ω r） | |
|---|---|---|
| 涡量 | Ωz = 0（无旋） | Ωz = 2ω（有旋） |
| 涡线 | 不存在（无涡量） | 平行于 z 轴的直线 |
| 涡通量 | 0 | J = 2ωπr2 |
| 速度环量 | Γ = 2πK（与 r 无关） | Γ = 2ωπr2 = J |
该例说明"有旋/无旋"取决于微团自转，与轨迹形状（均沿圆周运动）无关；同时验证了"涡通量 = 速度环量"。
引入速度势的意义：将求解两个速度分量的问题转化为求解一个标量函数 φ 的问题。无旋流动称有势流动，简称势流。
拉普拉斯方程是线性方程，故若干简单势流的解可以线性叠加（叠加原理）——这是用几个基本解组合出复杂流动图形的理论基础（如源 + 汇 + 平行流 = 绕流；点源 + 点汇 = 偶极子）。
| 流动类型 | 势函数 φ | 流函数 ψ | 速度特征 |
|---|---|---|---|
| 平行直线等速流 | φ = −U x | ψ = U y | vx = U，vy = 0 |
| 点源 / 点汇（强度 q） | φ = ±(q/2π) ln r | ψ = ±(q/2π) θ | vr = ±q/(2πr)，vθ = 0 |
| 点涡（环量 Γ） | φ = (Γ/2π) θ | ψ = −(Γ/2π) ln r | vθ = Γ/(2πr)，无旋（自由涡） |
| 偶极子（源汇叠加） | φ = −m cos θ/r | ψ = −m sin θ/r | 按 r−2 衰减 |
| 绕固定圆柱体（无环量） | φ = −U(r + R2/r)cos θ | ψ = U(r − R2/r) sin θ | vr = U(1 − R2/r2)cos θ；vθ = −U(1 + R2/r2)sin θ |
| 绕转动圆柱体（有环量） | = 无环量解 + 点涡解 | 同上叠加 | 库塔-儒可夫斯基升力 L = ρUΓ（马格努斯效应） |
其他内容：各形区域（如半无限体、管道内）的流动；镜像法（用镜像奇点满足固壁边界）；理想流体绕固定圆柱体的流动（前后驻点、最大速度在肩部、无阻力佯谬）；理想流体绕转动圆柱体的流动（驻点偏移、升力）。
势流理论的适用性：虽针对理想流体，但其运动学规律对工程实际流动的流场分析有重要指导意义；势流理论是高雷诺数绕流问题、地下水或多孔介质渗流等问题的重要基础。
流动实验有原型实验、比拟实验和模型实验三大类。模型实验的主要问题是确定模型尺寸、实验介质与操作条件，以实现模型流动与原型流动的相似。相似理论为此提供基本准则；本章亦提示：由于计算机模拟理论上不存在相似准则与模拟条件的制约，在大尺寸设备的流场数值模拟中，采用以相似准则为指导的"模型模拟"是新思路。
| 相似数 | 定义与物理意义（力之比） | 准则名称与适用场合 |
|---|---|---|
| Re = ρvLμ = vLν | 对流惯性力 / 黏性力 | 黏性力相似准则；黏性摩擦显著过程（管流、装置内流动、沿固体表面阻力）。Re 数的自模化：Re 超过一定范围后流动充分湍流，流动行为不再与 Re 有关，此时不必满足 Re 准则 |
| Fr = v2gL | 对流惯性力 / 重力 | 重力相似准则；重力显著过程（有自由液面：液面波动、潮汐、江河流动、堰流、孔口汇流、波浪阻力）。急流 Fr > 1（干扰波不能上传），缓流 Fr < 1 |
| Eu = Δpρv2 | 压差力（表面力）/ 对流惯性力 | 压力相似准则；涉及表面压力或压差力的过程（压差流动阻力、形状阻力、桨叶推力、冲击力、空泡现象） |
| St = Lvt | 局部加速度 / 对流加速度 | 时间相似准则；非定常问题，常用于确定位移时间（如桨叶转速比）。定常问题自然满足 |
| Ma = va | 惯性力 / 弹性力（v/a，a 为声速） | 可压缩性相似准则；Ma > 0.3 后气体密度随压力变化明显，可压缩性影响显著 |
| We = ρv2Lσ | 惯性力 / 表面张力 | 表面张力相似准则；表面张力显著过程（毛细管流动、微液滴或气泡运动、液滴微流控等小尺度问题）；We 越小表面张力作用越重要；一般大尺度流动 We ≫ 1，表面张力可不计 |
| Ca = μvσ | 黏性力 / 表面张力（导出准数 Ca = We/Re） | 毛细管数（Taylor 提出）；分散相液滴在缓慢连续相中的运动与变形、微流控装置中液滴的生长变形与断裂、油滴在聚结板面的变形与聚并，用 Ca 能更好描述过程行为 |
| Ro、Ek | Ro = vωL：柯氏力/离心力；Ek = νωL2：黏性力/离心力 | 旋转系统相似（罗斯比数、埃克曼数） |
附录 B 表 B-2 另列出传热传质常见相似数：Nu（对流换热与导热热阻之比）、Pr（动量扩散与热量扩散）、Sc（动量扩散与质量扩散）、Sh（对流传质与扩散传质）、Pe（对流与扩散）、Bi（内部导热热阻与边界对流换热热阻之比）、Fo（热扩散时间准数）、Gr（浮力与黏性力之比）、Ga（重力与黏性力之比）、Le（热扩散与质量扩散之比）、Ja（对流换热与热焓增量之比）等。
模型实验只有在与原型流动相似（几何、运动、动力相似 + 边界条件相同）时，其结果才能用于预测原型。要点：定性准则（用于确定模型尺寸或实验条件，如例中的 Re 准则）与非定性准则（本身含需预测的目标量，用于预测原型参数，如 Eu 准则）。
实验数据应整理成"目标无因次数 = f(定性相似数)"的形式，以便外推；同时应注意实验范围（Re 区间、是否处于自模区）对关联式外推的限制。
管内湍流的速度分布与阻力计算是工程实际的基本问题。圆管湍流速度分布问题的解决得益于普朗特混合长度理论（首个有实用价值的湍流模型，也称涡黏性系数的零方程模型），由此获得壁面律；冯·卡门、尼古拉兹等由实验确定常数，从而获得圆管湍流速度分布式，阻力计算问题亦随之解决。
层流时流体层间犹如平行滑动，横向只有分子热运动（尺度远小于质点尺度），示踪剂形成清晰有色直线；湍流时内部充满不同尺度旋涡，流体以微团形式随机脉动（脉动尺度远大于质点尺度），质点运动紊乱，示踪剂很快弥散。过渡还与进口形状、壁面粗糙度、环境扰动有关——入口圆弧过渡且扰动小的光滑管可维持层流到更高的 Re。
无论层流还是湍流，充分发展区速度都只随 r 变化，但规律显著不同：湍流时切应力与应变速率的关系是非线性的，不能像层流那样用牛顿剪切定律简单描述，故湍流问题必须结合湍流模型与实验确定。
湍流的特征：随机性（脉动）、有涡性（多尺度旋涡）、扩散性（强烈的混合与扩散）、耗散性（机械能耗散为热能）、连续性（仍满足连续介质假设）。工程上采用时均化处理：瞬时量 = 时均量 + 脉动量，如 vx = v̄x + vx′，且 v̄x′ = 0（但脉动量的乘积时均值不为零，如 ρ vx′vy′ ≠ 0，即雷诺应力）。
RANS 较 N-S 方程多出 6 个未知雷诺应力，方程组不封闭，须引入湍流模型封闭（"湍流模型问题"）。
弯管中流体受离心力作用，外侧压力高、内侧压力低，在截面上形成二次流（Dean 涡，一对反向旋涡）；二次流使主流在弯管内侧附近加速、外侧附近减速，并附加能量损失，故弯管阻力系数大于同长度直管，且弯曲半径越小（R/D 越小）阻力越大。弯管中还有主流与二次流叠加形成的螺旋流。
解析要领：先判流态（Re），再选 λ 公式，最后校核与迭代；局部阻力与沿程阻力需分别计算并求和。
绕流（外部流动）多为高雷诺数流动，此时惯性力远大于黏性力。1904 年普朗特提出：高雷诺数绕流可分成两个区域——壁面附近很薄的边界层（黏性作用不可忽略）与外流区（可视为理想流体流动）。他对二维 N-S 方程作数量级分析得到普朗特边界层方程；布拉修斯求解获得平壁层流边界层解析解；冯·卡门建立边界层动量积分方程并获得湍流边界层近似解。边界层理论被公认为现代流体力学的时代标志，其思想方法还被推广到热边界层与浓度边界层。
直接忽略黏性（理想流体）会给出与实际不符的摩擦阻力；直接采用 N-S 方程解析又极为困难。普朗特的边界层理论正是解决这一矛盾的途径。
转变还取决于来流扰动、平壁前缘形状、壁面粗糙度：来流均匀稳定、前缘光滑平整、壁面光滑则推迟转变，反之提前。湍流边界层沿厚度方向又分为黏性底层、过渡层与湍流核心区（统称湍流层）。
物理意义：δ1 是"与边界层实际流量相同时理想流场边界应向上推移的距离"，可判断边界层对外流区的影响程度；δ2 是动量等效推移距离。
与布拉修斯精确解相比：δ 偏差 10.5%，δ1 偏差 5.6%，δ2 与 Cf 偏差 9.9%（因假定速度分布与真实分布有差异）；改进速度分布可提高精度（表中列出几种典型速度分布下的近似解）。
沿厚度分黏性底层、过渡层、湍流层（核心区）；可用壁面律（对数律）描述，或用 1/7 次方律近似整体分布。
在逆压梯度（dp/dx > 0，即沿流动方向压力升高、外流减速）作用下，边界层内近壁流体动能不足以克服压差力与黏性耗散，速度先减小为零（分离点），随后出现倒流，边界层脱离壁面形成分离涡与尾流。分离的后果：① 产生形状（压差）阻力 Fp；② 引发振动、噪声、空化；③ 破坏绕流升力（机翼失速）。
不可压缩假设对液体流动适合，对气体低速流动也近似适用；但气体高速流动时密度变化不可忽略，必须按可压缩流动处理。本章结构：变截面管讨论等熵流动（喷管/扩压管，管道短、过程快、摩擦小、来不及换热）；等截面管讨论有摩擦的绝热流动与等温流动（摩擦生热使状态不断变化，取两种极端情况作数学简化）。
激波是压力有突变的波面（与声波的区别：声波前后压力变化极小 dp → 无限小，激波前后压力变化为有限量 Δp）。形成机理可由活塞连续压缩说明：有限扰动可分为 dp、2dp、3dp 等先后扰动，后面的扰动在已被压缩、温度更高（声速更大）的介质中传播，会追上前面扰动，使压力波陡化叠加，最终形成压力突变的激波面。激波过程不可逆，熵增大。
绝热（Q = 0）、无轴功（N = 0）、等截面（A = const）、有摩擦。摩擦使总压（滞止压力）单调下降、熵增大，亚声速气流被摩擦"加速"趋于 M = 1，超声速气流被摩擦"减速"趋于 M = 1；对应有极限管长（达到 M = 1 时的管长），超过此长度则发生"摩擦壅塞"（须降低进口流量或改变进口状态）。
等温（T = const）、等截面、有摩擦（长管道、有良好换热时近似）。等温流动中气体状态变化较缓，可用等温过程关系 p/ρ = RT = const 结合动量与能量方程求解压降、密度与速度沿管长的变化（工程上常用于长输气管计算）。
皮托管正前方形成脱体正激波，测得的是激波后总压；须用正激波关系反求波前马赫数与速度（不能直接用等熵滞止关系）。
用文丘里管/孔板配合可压缩性修正（膨胀系数），或用临界流文丘里喷嘴（喉部达 M = 1，流量仅取决于上游滞止参数，稳定性好）。
应用示例：喷管（渐缩/缩放）用于蒸汽喷射、火箭与燃气轮机推进、射流泵、气动输送；等截面有摩擦流动用于长输气管、气动管路系统设计。
停留时间指流体从设备进口到出口所经历的时间，停留时间分布（RTD）指出口截面上流体停留时间长短的构成情况。复杂设备内速度分布难以测试，但其导致的 RTD 却相对易于测试——通过 RTD 曲线可定性或定量分析设备内流动状况及其与结构的关系，为结构优化与连续反应器建模提供依据。
停留时间：物料由系统进口到出口所经历的时间。理想情况是同时刻进入设备的流体经历相同停留时间后同时离开；实际因速度分布不均，出口截面上停留时间各不相同。间歇操作设备所有物料停留时间相同，不存在 RTD 问题。
返混：停留时间不同的（同一种）物料之间的混合。发生原因：
返混直接影响设备内过程进程：连续反应器中返混导致出口物料反应程度不一；换热器中停留时间不均意味着流体接触换热面时间长短不一。研究 RTD 的三重意义：① 获得设备内物理过程的信息（流动是否均匀、是否有死区或短路、返混程度）；② 为设备模拟放大提供流动行为方面的启示；③ 确定设备内（基于 RTD 行为的）流动模型。
对同一稳态连续系统，出口截面上流体的停留时间分布状态是确定不变的；出口流体停留时间通常分布于 0~∞ 之间（图 12-3 的停留时间分布图）。
例 12-1（E(t) = (1/κ)e−t/κ）表明：t = ∞ 时新流体全部流出（输出量 = 输入量）；t = 0 以前设备内的老流体量为 κρqV = ρV，故 κ = V/qV = 平均停留时间。三部分流出的总量与输入总量平衡、剩余质量等于容器装载量，是 RTD 计算的典型校核方式。
E(t) 与 F(t) 通常用示踪响应法测试，最常见的是脉冲响应法与阶跃响应法（另有周期输入频率响应法）。共同要求：示踪剂易于检测、流动性质与流体一样（完全随动）、出口检测点处充分混合。
优点：由响应曲线 C(t) 可直接获得 E(t)。缺点：随时间增加出口浓度很低，精确测量困难（而这对模型拟合又很重要）；脉冲输入只是近似瞬间，带来一定误差。测试总时间应足够长、测试点足够多；可用 m0 计算值与实验用量比较来评判误差。
优点：由响应曲线可直接获得 F(t)。缺点：测试末期浓度变化很小难以精确测量；由 F(t) 求 E(t) 需数值微分，误差较大，所得 E(t) 不如脉冲法精确。
附录 A 是第 3 章（静力平衡方程由高斯公式把 pn 的面积分化为体积分）、第 6 章（N-S 方程的矢量写法）、第 7 章（速度环量与涡通量关系）的数学基础。
基本量纲：长度 L、质量 M、时间 T、温度 θ（英制等其他单位 ×转换系数 = SI 制标准单位）。
| 物理量 | 量纲 | SI 制标准单位 | 常见其他单位及换算 |
|---|---|---|---|
| 密度 ρ | [ML−3] | kg/m3 | g/cm3 = 103 kg/m3；lb/ft3 = 16.02 kg/m3 |
| 压力 p | [ML−1T−2] | Pa = N/m2 | 1 atm = 101325 Pa = 760 mmHg = 10.332 mH2O = 14.695 psi；1 at（工程大气压）= 98066.5 Pa；1 bar = 105 Pa；1 torr = 133.32 Pa |
| 动力黏度 μ | [ML−1T−1] | Pa·s | 1 P（泊）= 0.1 Pa·s；1 cP（厘泊）= 10−3 Pa·s |
| 运动黏度 ν | [L2T−1] | m2/s | 1 St（斯）= 10−4 m2/s；1 cSt = 10−6 m2/s |
| 表面张力 σ | [MT−2] | N/m | 1 dyn/cm = 10−3 N/m |
| 力 F | [MLT−2] | N | 1 dyne（达因）= 10−5 N；1 kgf = 9.80665 N；1 lbf = 4.448 N；1 poundal = 0.138 N |
| 能量 / 功 / 热 | [ML2T−2] | J | 1 cal = 4.1868 J；1 kcal = 4186.8 J；1 erg = 10−7 J；1 Btu = 1055 J |
| 功率 | [ML2T−3] | W = J/s | 1 hp（马力）= 745.7 W；1 kW = 103 W |
| 长度 / 体积 | [L] / [L3] | m / m3 | 1 in = 25.4 mm；1 ft = 0.3048 m；1 yd = 0.9144 m；1 mile = 1609.3 m；1 L = 10−3 m3；1 gal（英）= 4.546 L |
表中符号注解：atm 标准大气压；at 工程大气压；bar 巴；Btu 英热单位；cal 卡；cP 厘泊；dyne 达因；erg 尔格；Hg 汞柱；H2O 水柱；hp 马力；kgf 公斤力；lbf 磅（力）；lb 磅（质量）；poise 泊；poundal 磅达；torr 托；Å 埃。
| 特征数 | 定义式 | 意义（力/效应之比） | 应用领域 |
|---|---|---|---|
| Re 雷诺 | ρvLμ = vLν | 惯性力 / 黏性力 | 黏性流动、内流、绕流、阻力与流态判别 |
| Fr 佛鲁德 | v2gL | 惯性力 / 重力 | 自由液面流动、明渠、堰流、波浪 |
| Eu 欧拉 | Δpρv2 | 压差力 / 惯性力 | 压差流动、形状阻力、空化 |
| St 斯特哈尔 | Lvt | 局部加速度 / 对流加速度 | 非定常流动、时间（频率）相似 |
| Ma 马赫 | v/a | 惯性力 / 弹性力 | 高速气体流动、可压缩流动 |
| We 韦伯 | ρv2Lσ | 惯性力 / 表面张力 | 小尺度两相流、液滴/气泡运动、液滴微流控；We 越小表面张力越重要 |
| Ca 毛细管数 | μvσ（= We/Re） | 黏性力 / 表面张力 | 微流控装置中液滴生长/变形/断裂、油滴变形与聚并 |
| Ro 罗斯比 | vωL | 柯氏力 / 离心力 | 旋转流体系统 |
| Ek 埃克曼 | νωL2 | 黏性力 / 离心力 | 旋转流体系统 |
| Nu 努塞尔 | hLλ | 对流换热 / 导热（热阻之比） | 对流换热 |
| Pr 普朗特 | νa = cpμλ | 动量扩散 / 热量扩散 | 对流换热 |
| Sc 施密特 | νDAB | 动量扩散 / 质量扩散 | 对流传质 |
| Sh 舍伍德 | kLDAB | 对流传质 / 扩散传质（传质阻力比） | 对流传质 |
| Pe 贝克来 | vLa（或 vLDAB） | 对流 / 扩散 | 对流换热与传质 |
| Bi 毕渥 | hLλs | 内部导热热阻 / 边界对流换热热阻 | 非稳态导热、热传导问题 |
| Fo 傅里叶 | a tL2 | 热扩散时间准数 | 非稳态热传导 |
| Gr 格拉晓夫 | αVΔT gL3ν2 | 浮力 / 黏性力 | 自然对流、颗粒沉降、流态化 |
| Ga 伽利略 | gL3ν2 | 重力 / 黏性力 | 颗粒沉降、流态化 |
| Ra 瑞利 | Gr·Pr | 温差浮力 / 黏性力（含热扩散） | 自然对流换热 |
| Le 刘易斯 | aDAB | 热扩散 / 质量扩散 | 传热传质耦合 |
| Ja 雅各布 | cpΔTγ | 对流换热 / 相变热焓增量 | 相变换热、冷凝/沸腾 |
表中符号：a = λ/(ρcp) 热扩散系数；DAB 质量扩散系数；h 对流换热系数；λ 流体导热系数；λs 固体导热系数；L 定性尺度；αV 热膨胀系数；ΔT 流体温差；γ 相变潜热；k 对流传质系数。
附录 C 收录：表 C-1 常见液体的表面张力系数 σ 与密度 ρ（随温度）；表 C-2 常见气体的气体常数 R、绝热指数 k、比热 cp/cv、密度等；表 C-3 常见气体的动力黏度与黏度-温度关系常数 C（用于式 μ = μ0(T/T0)3/2(T0+C)/(T+C)，空气 C = 111）；以及常见液体/气体的动力黏度 μ 与运动黏度 ν。
| 介质（常温条件） | 典型数据（教材附录 C / 通用值） | 微流控意义 |
|---|---|---|
| 水（20 ℃） | ρ ≈ 998 kg/m3；μ ≈ 1.0×10−3 Pa·s；ν ≈ 1.0×10−6 m2/s；σ（air）= 0.0728 N/m；Ev = 2.171×109 Pa | 微通道标准介质；毛细压力与流阻计算的基准 |
| 水（0→100 ℃） | σ = 0.0756 → 0.0589 N/m（随温度升高而降低） | 温度对毛细驱动/液滴生成影响 |
| 空气（常温常压） | ρ ≈ 1.2 kg/m3；μ ≈ 1.8×10−5 Pa·s；ν ≈ 1.5×10−5 m2/s；R = 287 J/(kg·K)；k = 1.4；a ≈ 344 m/s | 气体微流控、可压缩/稀薄效应判据 |
| 水银 | σ ≈ 0.48 N/m（大），与玻璃接触角 ≈ 140°（不润湿） | 非润湿液体的毛细抑制典型例（式 1-22） |
| 有机溶剂 / 油类 | σ 一般为 0.02~0.035 N/m（低于水） | 微流控中油相（连续相）选择与 Ca 调控 |
| 血液 / 聚合物溶液 | 非牛顿（剪切变稀、含屈服应力） | 血液芯片、流变学微流控 |
工程上使用具体数值时请查教材附录 C 原表（数值随温度变化），本表给出量级与微流控相关要点。
| 数 | 表达式 | 微流控中的作用 |
|---|---|---|
| Re | ρvDhμ | 判断流态；微通道一般 Re ≪ 1（层流、无湍流） |
| Ca | μvσ | 液滴生成模式（挤压/滴淌/射流）、界面变形与断裂（书中 8.1.4 节） |
| We | ρv2Lσ | 惯性力与表面张力之比；小尺度两相流（书中 8.1.4 节） |
| Pe | vLD（D 为扩散系数） | 对流与扩散之比，决定微通道混合长度；Pe ≫ 1 需被动混合 |
| St | Lvt = fL/v | 非定常/周期流动（微泵脉动、振荡流微混合） |
| Ma | v/a | 气体微流动可压缩性判据（Ma < 0.3 可视为不可压缩） |
| Kn 补充 | λL（λ 为分子平均自由程） | 稀薄气体效应与滑移边界判据（Kn > 10−3 起需考虑滑移） |
| De 补充 | ReDh2R | 弯曲微通道 Dean 二次流强度（被动混合器设计） |
| 驱动方式 | 理论依据 | 章节 |
|---|---|---|
| 压力驱动（注射泵、气压） | Poiseuille 定律、流阻网络、伯努利/能量方程 | 4、5、6、9 |
| 毛细/表面张力驱动 | 拉普拉斯压、毛细爬升、接触角 | 1、2、3 |
| 离心驱动（lab-on-CD） | 离心力场质量力 f = rω2、压力分布 p = ½ρω2r2 | 3 |
| 电渗/电动驱动 | 质量力含电场力、双电层（书中提及电场力驱动的流动） | 2、3 |
| 重力/液位差驱动 | 静压分布 p = p0 + ρgh | 3 |
| 声波/声流驱动 | 声速 a = kRT、滞止参数、辐射力 | 11 |
| 毛细-受控阀（阀门/虹吸） | Laplace 压与静压/流阻的平衡 | 1、3、5 |